上３角行列は左下がすべて０な行列。下３角行列は右上がすべて０な行列。性質 1. 三角行列Aの行列式detAは対角成分の積に等しい。(行列式の定義よりわかる。) 2. 三角行列Aの固有値は対角成分に等しい。(行列式と固有値の定義よりわかる。) 3. 上三角行列同…

以下は可換環のこと 定義 極大イデアル 極大イデアルは、非自明なイデアルの包含関係において極大のもの。 定理1 極大イデアルであることはその剰余環が非自明なイデアルをもたないこと 定義 体 非自明なイデアルをもたない環 定理2 極大イデアルの剰余環が…

層 前層...位相空間X上の前層F 開集合 U ⊂ X に対し アーベル群 F(U) 開埋め込み V ⊂ U に対して アーベル群の準同型 ρUV:F(U)->F(V) .. 制限写像 ρUVの制限: 1. ρUU:F(U)->F(U) = 恒等写像 2. ３つの開集合 W⊂V⊂U に対し ρUW = ρVW.ρUV ρUV(s) は s|V とも…

圏Cから(Sets)への関手Fがあるとする。 Cの対象Aを取る。米田の補題 θ:Nat(H^A, F) -> F(A) がbijection θ(η) := ηA(1_A)証明:主張1: θがinjectionηは自然変換なので、f:A->BとしてF(f).ηA = ηB.H^A(f)が成り立つ。H^A(f): hom(A,A)->hom(A,B) ηB: hom(A,B) …

Z/pZのイデアルの計算をしてみました。 https://gist.github.com/KatagiriSo/7a611bd9b9e25b4db13e77d4bbf84d9eこれを使ってZ/12Zのイデアルを求めてみると [0],[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[0,2,4,6,8,10],[0,3,6,9],[0,4,8],[0,6] つまり (0), Z/12Z, (2)…

環のスペクトル - Wikipedia 環の素イデアルの集合を環のスペクトルと呼ぶ。環RとしてSpec(R)と書く。Spec(R)にはザリスキ位相を入れることができる。素イデアルは部分多様体のような役割になり、一方で極大イデアルが点の役割を果たすようになるらしい。

昇鎖条件 - Wikipedia大小関係の列があったとして(詳しく言うと半順序集合)、大なりがどこかで止まる列を昇鎖条件を満たすという。 反対に下がっていくほうがどこかで止まるのが降鎖条件。ネーター環というのはイデアルの包含関係が昇鎖条件を満たしているも…

単純環 - Wikipedia自明なイデアル(つまり0と環自身)しかイデアルがないような環のこと。ようするに面白いイデアルのないシンプルな構造の環になっている。もう少し何が言えるのかは今後。

イデアル (環論) - Wikipedia イデアル [物理のかぎしっぽ] イデアルというと環自身がそのままでイデアルの一つであるが、そういうイデアルでないイデアルを真のイデアルと呼ぶことがある。さらにいうと、０と環そのものという二つを自明なイデアルと呼んで…

零因子 - Wikipediaゼロ因子とは、0自身の他に０でもないのに掛けたら０になってしまう詐欺のような元のことである。そういう詐欺をしない正しい元を正則な元と呼ぶ。

剰余環 - Wikipedia商環ともいう。環はイデアル分を足しても同値とみなす同値類によって類別されて、 つまり、 a〜bをb-a∈Iとして、[a] = a + I というような元をつくる。[a] + [b] = [a + b] みたいな自然な感じに演算が定義できて環になっている。いわば、…

素イデアル - Wikipediaイデアルが元の環の積でかけている時は必ず、その積の少なくとも片方がそのイデアルの元になっているという性質を持つイデアルを素イデアルと呼ぶ。つまり、環R、イデアルPとして、環Rの元a,bでab∈Pのとき、a∈Pかb∈PとなっていればPは…

極大イデアル - Wikipedia イデアルは集合として包含関係をつけていくことができる。その包含関係の極大のものを極大イデアルという。当然、環について極大イデアルは複数あって良い。 逆にいえば極大イデアルが一個しかない環は特殊であって、そのような環…

単項イデアル整域 - Wikipedia整域なんだけど、つまりゼロ因子を持たない環なんだけど、それに加えてその環のイデアルがどれも単項イデアルになるような環。主環、主イデアル整域、principal ideal domain、PIDとも呼ばれる。単項イデアル整域つまりPIDであ…

整域 - Wikipedia0以外に０因子を持たない可換環。ちなみに{0}(自明環)はだめとする。割る(整除する)ことができるようになる。a,b∈Rが、ax=b、x∈Rのとき、a|bとかく。a|1のとき、aを単元と呼ぶ。 a|bでb|aならa,bは同伴と呼ぶ。あと既約元と素元という概念が…

環Rの部分集合をXとする。 今簡単のためX={x1,x2}とする。 このXによって生成する左イデアルは {r1x1+r2x2|r1,r2∈R}同様にXによって生成する右イデアル、両側イデアルも定義できる。 単項イデアル(主イデアル) Xが一個だけX={x}で生成されるイデアル。(x)と…

イデアル (環論) - Wikipedia 環Rの部分集合Iがイデアルとはr∈R i∈Iri = i'となるi'∈Iがある。ここでは左イデアルで説明した。両側イデアルを単にイデアルと呼ぶ。 環が0と自身以外にイデアルを持たないとき、つまり自明なイデアルしか持たない時、その環を…

基底 (位相空間論) - Wikipedia 位相空間(X,O) 位相Oの任意の開集合o∈Oが、 その合併で書けるようなXの部分集合族Bつまり、 適当に一個とってくるo∈O それはいくつかのb1,b2,..∈Bでo=∪ibiと書ける。Bは位相Oを生成するという。baseは一意には決まらない。

いつも忘れるので書いておく位相空間(X,O) Xは集合 OはXの部分集合族。Oを位相と呼ぶ。 X ∈ O, Φ ∈ O o1,o2 ∈ O => o1∩o2 ∈ O o_λ ∈ O, ∀λ∈Λ => ∪_λ o_λ ∈ O

多様体M上に1次の微分形式があるとする。 これとM上のベクトル場との内部積として つまり 微分形式が一般のk次のときも同様に 例として となるはず。内部積の話は続く。。

リー微分を調べた。Wikipedia参照 関数のリー微分 関数のリー微分は以下で定義する。 これを成分で計算すると 外に出して、 あとは内積を計算して こうとも書ける。 ベクトルのリー微分 ベクトルのリー微分は以下で定義する。 ]括弧はリー括弧で これを成分…