ヒルベルト空間Hの演算子Aは
定義域をD(A) 、値域をR(A)として
φ = A ψ
φ ∈ R(A)
ψ ∈ D(A)
と書く。
演算子が物理量であるとき
内積 <ψ, Aψ>は実数である必要がある。
演算子がエルミートであるとは
<φ, Aψ> = <Aφ, ψ>
が成立することである。
演算子がエルミートであることと内積 <ψ, Aψ>が実数であることは関係する。
実際、エルミートであれば <ψ, Aψ> = <Aψ, ψ>であり、
<ψ, Aψ>^* = <Aψ, ψ> = <ψ, Aψ> となるので、エルミートであれば実数である。
