超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

Towards the Theory of Reheating After Inflation

Kofman, Linde, Starobinskyの論文を読んでみようかというきになっている。
https://arxiv.org/pdf/hep-ph/9704452.pdf

とりあえず、Abstractを読んでみた。以下は機械翻訳を整形したの。


  1. インフレーション後の再加熱は、振動するインフレトン場による粒子の生成により発生します。
  2. この論文では、再加熱への摂動アプローチを簡単に説明し、摂動理論を超えた効果に集中します。
  3. これらはパラメトリック共振の段階に関連しており、これを予熱と呼びます。
  4. インフラトン場の振動の初期振幅が十分に大きい場合、膨張する宇宙で発生する可能性があります。
  5. 相互作用項g2φ2χ2を使用して、別のスカラー場χに結合された大規模なインフラトン場φの単純なモデルを調べます。
  6. このモデルのパラメトリック共振は非常に広いです。
  7. それは非常に珍しい確率論的な方法で起こり、宇宙の膨張が無視された場合のパラメトリック共鳴とは全く異なります。
  8. 振動するインフラトン場と相互作用する量子場は、宇宙の急速な膨張のために、互いに相関のない位相で発生する一連の+キックを経験します。
  9. プロセスの確率的性質にもかかわらず、フィールドχのゆらぎの指数関数的成長につながります。
  10. このプロセスを確率共鳴と呼びます。
  11. 再散乱の影響を含め、宇宙の膨張と生成された粒子の逆反応を考慮して予熱の理論を開発します。
  12. この調査は、インフレ後の再加熱に関する以前の研究を拡張したものです[1]。
  13. 生成された粒子の有効電位V(φ)への寄与は、通常の場合のφ2ではなく、|φ|に比例することを示しています。
  14. 予熱のプロセスは、いくつかの異なる段階に分けることができます。
  15. 最初の段階では、作成された粒子の逆反応は重要ではありません。
  16. 第二段階では、逆反応により、インフラトン場の振動の頻度が増加し、プロセスが以前よりもさらに効率的になります。
  17. 次に、振動するインフラトン場に対するχ粒子の散乱に関連する効果により、共鳴が終了します。
  18. 予熱中に生成される粒子の数密度nχと、すべての逆反応効果を考慮した量子ゆらぎhχ2iを計算します。
  19. これにより、効率的な予熱が可能な質量と結合定数の範囲を見つけることができます。
  20. 特に、特定の条件下では、このプロセスにより、インフラトン場の質量よりもはるかに大きい質量の粒子が生成される場合があります。

Introduction

  1. インフレーション理論によると、宇宙に住む(ほぼ)すべての素粒子は、インフレーション後の宇宙の再加熱の過程で作成されました[2]。
  2. このプロセスは非常に重要です。
  3. しかし、長年にわたり、再加熱の理論は、インフレ理論の最も発展の遅れた部分であり続けました。
  4. 現在でも、再加熱のメカニズムの多くの特徴が理解されているとき、この主題に関する文献は相反する声明でいっぱいです。
  5. インフレーション後の再加熱の基本的な考え方は、新しいインフレーションに関する最初の論文[3]で提案されました。
  6. 再加熱は、振動するスカラー場φによる粒子生成により発生します。
  7. 最も単純なインフレーションモデルでは、このフィールドは、宇宙の進化の初期段階でインフレーションを駆動する同じインフレトンフィールドφです。
  8. 膨張後、スカラー場φ(これをインフラトンと呼びます)は、その有効ポテンシャルの最小値近くで振動し、素粒子を生成します。
  9. これらの粒子は互いに相互作用し、最終的にはある温度Tで熱平衡状態になります。
  10. このプロセスは、古典的なスカラー場φのすべての(またはほとんどすべての)エネルギーが素粒子の熱エネルギーに移行すると完了します。
  11. この段階での宇宙の温度は、再加熱温度と呼ばれます。
  12. このプロセスの現象論的記述の最初の試みは、参考文献で行われました。 [4]。
  13. 著者は、スカラー場の運動方程式にさまざまな摩擦項を追加して、インフレトン場から物質へのエネルギー移動を模倣しました。しかし、どのような種類の用語を追加するべきか、また、インフレトン場のゆっくりしたローリングの段階で追加するのか、インフレトン場の急速な振動の段階でのみ追加するのかは不明でした。
  14. 新しいインフレシナリオへの適用における再加熱の理論は、参考文献で最初に開発されました。 [5,6]、およびR2インフレーションへの適用では、ref。 [7]。
  15. これは摂動理論に基づいており、多くの現実的なモデルで再加熱温度Trを取得するのに十分でした。
  16. この理論の詳細を説明します。今後の出版物[8]でさらに発展させる予定である。
  17. ただし、摂動論には一定の制限があり、ごく最近になって実現されました。
  18. 特に、[5]で説明されているベクトル場へのインフレトン場の減衰のメカニズムは、考慮される新しいインフレーションモデルの再加熱の中間段階でのみ効率的です。
  19. [6]で説明されているフェルミオンへのインフレトンフィールドの崩壊は、通常、非常に遅いときにのみ重要です。
  20. 再加熱の段階。多くのインフレーションモデルでは、これらのメカニズムはどちらもプロセスの最初の段階を正しく説明していません。
  21. 実際、最近では、多くのインフレーションモデルで再加熱の最初の段階が幅広いパラメトリック共鳴の領域で発生することが理解されました[1]。
  22. この段階を遅い再加熱と熱化の後続段階と区別するために、予熱と呼びました。
  23. 予熱中のインフレトン場から他のボーズ場および粒子へのエネルギー移動は非常に効率的です。
  24. [1]で指摘したように、パラメトリック共振の段階では再加熱は完了しません。
  25. 最終的に、共鳴は狭く非効率になり、インフラトン場の崩壊とその崩壊生成物の熱化の最終段階は、再加熱の基本理論によって説明できる[5,6,8]。
  26. したがって、再加熱の初歩的な理論は、パラメトリック共振の段階で再加熱が始まる理論においても非常に有用であることが証明されています。
  27. しかし、それは、元のコヒーレントに振動するインフレトン場ではなく、その崩壊の生成物、および予熱を生き残ったインフレトン場の部分に適用する必要があります。
  28. 広い共鳴領域での爆発的に急速な予熱の短い段階は、宇宙のその後の進化に長続きする効果があるかもしれません。
  29. 初期宇宙の特定の非熱的相転移[9,10]およびトポロジカル欠陥生成につながる可能性があり、バリオジェネシスの新しいメカニズムを可能にする可能性があり[11,12]、再加熱温度Trの最終値を変更する可能性があります。
  30. 外部場の振動による粒子生成への応用におけるパラメトリック共鳴の理論は、20年以上前に開発されました [13] 。
  31. この理論で使用される方法は、主に狭いパラメトリック共振の場合のために開発されました 。
  32. この理論をインフレーション後の再加熱に適用する最初の試みは、ドルゴフとキリロワ[14]およびトラッシェンとブランデンベルガー[15]によって、新しいインフレーションの文脈における狭い共鳴体制のために行われました。
  33. [14]で、膨張する宇宙でのパラメトリック共鳴は効率的な再加熱をもたらすことができないと推測されました。
  34. Ref [15]の著者は、新しいインフレーションのパラメトリック共振が効率的であるという重要な結論に達しました。
  35. しかし、彼らのパラメトリック共振の調査は完全に正しくありませんでした 。
  36. この論文のSecIVを参照してください 。
  37. いずれにせよ、現時点では、新しいインフレシナリオに基づく一貫したインフレモデルはありません。
  38. 混inflationとしたインフレーションにおける再加熱の一般理論への一歩は、かなり自明ではありませんでした。
  39. 実際、新しいインフレーションの有効ポテンシャルは、φ= 0付近で異常にフラットです。
  40. 有効ポテンシャルのこの微調整された特性の結果、このシナリオのインフレーション終了時のハッブル定数は、振動の質量よりもはるかに小さくなります。
  41. スカラーフィールド。
  42. したがって、宇宙の膨張に関連する影響は、共鳴の発達にとってそれほど破壊的ではなく、共鳴が狭い場合でもかなり効率的です。
  43. 狭い共鳴は、λφ4のタイプの共形不変理論の文脈では、カオス的インフレーションでもかなり効率的です。
  44. そのような理論では、宇宙の膨張は共鳴の発達を妨げません。
  45. したがって、共鳴がかなり狭い場合でも予熱は効率的かもしれません[1,16–19]。
  46. ただし、一般的に有効ポテンシャルは、ポテンシャルの最小値に近いφに関して2次であり、共形不変性を破ります。
  47. この論文で示すように、2次有効ポテンシャルと相互作用g2φ2χ2を伴う大規模なインフレトン場φの理論など、最も単純なインフレーションモデルでは、共鳴が非常に広い場合にのみ予熱が効率的です。
  48. 膨張する宇宙での広いパラメトリック共鳴の理論は、狭い共鳴の理論とは劇的に異なります。

エベレット論文の意訳 第3回 孤立系の内部における量子力学


この記事はHugh Everett,IIIの書いた多世界解釈についての原論文"Relative State" Formulation of Quantum Mechanicsについて書いています。投稿された雑誌はReview of Modern Physics Volume29,454です。

多世界解釈量子力学の解釈の一つであり、宇宙論などとの相性もよく、近年では量子コンピュータの発想の原動力にもなりました。

以下は、論文の意訳です。

第3章 孤立系の内部における量子力学




この論文では純粋に波動関数のみでそれが完全な理論であるとみなす(プロセス2だけを採用する)ことを提案する。どこにおいてもどんな時間においても線形波動方程式に従う波動関数は例外なしにすべての孤立した物理系にたいする完全な数学的モデルを供給していることをこの論文は主張する。
そして、さらに、外部観測を受けるすべての系はより大きな孤立系の一部であることを主張する。

波動関数は先験的な解釈なしに基本的な物理的な実在であるとみなされる。解釈は理論の論理構造の探究の後にもたらされる。そこでは常に理論自身がその解釈に対するフレームワークを設定する。

どんな解釈についても理論の数学的モデルを経験に対応づける必要がある。この目的のために、観測者にたいする抽象的なモデルを定式化する必要がある。抽象的なモデルはその理論の枠内で物理系として扱う事ができるようにする。そして、そのようなモデルの観測者達が他の部分系と相互作用していることを含むような孤立系を考える必要がある。そして、観測者が周囲の部分系と相互作用の結果として起こる変化を推定し、それを経験のなじみ深い言語を用いて変化として解釈する必要がある。

第4章では構成している部分系の状態の言葉による複合系の状態の表現について議論する。数学的にはそれは相対状態の概念を導く。それは次のような意味である。構成している部分系は複合系から独立になんらかの単一でよく定義された状態であるということはできない。一つの部分系にたいする状態を任意に独断的に選ぶことは複合系の残りの部分について唯一の相対状態を対応させたことになる。この相対状態は通常最初に選んだ部分系にたいする状態の選択に依存する。従って一つの部分系の状態は独立した存在ではなく、残りの部分系の状態によってのみ特定される。言い換えるならば、部分系が占めている状態は独立ではなく、相関している。系の間のそのような相関は系達が相互作用しているときはいつでも生じる。今考えている形式では、すべての測定と観測過程が単純に系の間の強い相関を生むような相互作用とみなされる。フォン-ノイマンによる観測のモデルのようなものはこの観点から分析される。

第5章では観測問題についての抽象的な扱いを与える。結果がもっとも一般性を持ち、量子論のどのような形式にも適用可能であるようにするため、部分系の状態から形成される複合系による一般的な規則と重ね合わせの原理のみを用いる。観測者の状態は観測対象の系の状態と相対的に記述される。観測者の経験(磁気メモリーや計測システム等)はプロセス1を基礎とする量子力学の通常の”外部観測者”の予測と一致する。

第6章では量子力学の”相対状態”形式を要約する。


第4章に続く

エベレット論文の意訳 第2回 通常の量子力学-外部観測者形式の適応領域




この記事はHugh Everett,IIIの書いた多世界解釈についての原論文"Relative State" Formulation of Quantum Mechanicsについて書いています。投稿された雑誌はReview of Modern Physics Volume29,454です。

第2章 通常の量子力学-外部観測者形式の適応領域



通常のいわば”外部観測”形式での量子力学を簡潔に次のようにまとめよう。

物理系は状態関数ψによって完全に決定される。これはヒルベルト空間の一つの元であり、外部観測者によって行われる様々な観測結果がでる確率のみを情報として与える。状態関数は二つの基本的に異なる変化をする。

プロセス1 観測による非連続的な変化。状態ψは固有状態φiに確率|(ψ,φ)|^2で変化する。
プロセス2 連続的で決定論的な変化。孤立系では時間に従って波動方程式∂ψ/∂t = Aψで時間発展する。Aは線形演算子

この形式は実験をよく記述している。これと矛盾する実験的な証拠は知られていない。

すべての考えられる状況にこの数学的定式化のフレームワークが適応するわけではない。例として観測者(もしくは観測装置)とある観測される系からなる孤立系を考える。状態の時間発展はプロセス2によって記述することができるだろうか?もし、そうであるならプロセス1のような非連続で確率的なプロセスが起こるはずはない。もし、そうでないなら我々が他のすべての物理系に認めるとの同じような量子力学的記述と同じ種類の記述を、観測者を含む系については適用できないことを認める事になる。

この問題は単に心理学の領域であるとして除外できるようなものではない。量子力学における”観測者”の議論のほとんどが光電管や写真乾板や同様のデバイスのような機械に置き換える事ができる。もし、分析する上で観測者を機械のレベルでみるというよりなじみ深い感覚で考えたくないのなら、このように、問題をこの類に制限する(観測者を観測器のような機械に制限する)ことができる。

近似的観測のみが有効であるようなケースでは通常の形式のプロセス1と2のどのような混合によって記述することができるだろうか。近似的観測とは、観測装置もしくは観測者が弱く、ある限られた時間でのみ観測対象と相互作用するような場合である。近似的観測のケースにおいて適切な理論であれば必ず以下を明確にする必要がある。

(1)観測装置の観測値に対応する観測対象の新しい状態
(2)その観測値が起こる確率

フォン・ノイマンは近似的観測のある特殊なクラスにおいては、射影演算子を使って扱うことができることを示した。しかし、すべての近似的観測についてのより一般的な扱いを射影演算子を用いて記述する事は不可能だった。

通常の量子力学の形式を時空の幾何学それ自身に適応させるとどうなるだろうか。問題は閉じた宇宙の場合に特に明確になる。そこでは系の外側でそれを観測することはできない。そこではある状態を他の状態へと遷移させる外側が存在しない。エネルギーの固有状態というなじみ深い概念でさえ完全に適応することができない。エネルギーの保存則の導出において系のすべての部分とその相互作用を含むほど十分に大きな表面について積分する必要があるが、閉じた空間において、表面は体積が大きければ大きいほど大きくなり、究極的には消滅してしまう。閉じた宇宙に対して全エネルギーを定義する試みは意味のない言明に崩壊する。0=0という。

閉じた宇宙や、近似的観測や、観測者を含んだ系のようなものの量子力学的な記述はどのようにすればよいのか。これら三つの問いは一つの共通の特徴を持っている。それは、彼らがみな、孤立した系の内部における量子力学について問うているということである。

外部からの観測ができない系に通常の量子力学の形式が適用できる証拠はない。この形式の解釈方法は外部からの観測による記述がもとになっているからだ。観測の結果となる様々な可能性についての確率はプロセス1によっておもに述べられる。この形式のこの部分なしに、通常の機械装置を物理的な解釈に帰するようなどんな手段も存在しない。しかし、プロセス1は外部観測者のいない系については不可能である。


第3章へ続く

エベレット論文の意訳 第1回


この記事はHugh Everett,IIIの書いた多世界解釈についての原論文"Relative State" Formulation of Quantum Mechanicsについて書いています。投稿された雑誌はReview of Modern Physics Volume29,454です。

多世界解釈量子力学の解釈の一つであり、宇宙論などとの相性もよく、近年では量子コンピュータの発想の原動力にもなりました。

以下は、論文の意訳です。

1序章



一般相対論を量子化しようとすると、時空の幾何のような基本的な構造に量子化を適用することになるが、このことで量子力学の現在の形式と解釈についての深刻な問題が生じる。この論文では量子力学の基礎を明確にすることを探究する。ここでは一般相対論への適用がしやすいように量子力学を再定式化する。

この再定式化は通常の量子力学の形式と矛盾するものではなく、より一般的で完全なものであり、通常の量子力学の解釈はこれより導出することができる。

この新しい形式と古い形式との関係はそれゆえにメタ理論的な関係となる。つまり、これによって古い理論はその自然さや整合性、適用領域を調査し、明確にすることができる。

新しい理論は通常の理論とくらべて極端な逸脱のもとにあるのではない。新しい理論においては、古い理論にあった観測についての特殊な仮定を除いている。そのことで新しい理論は新たな特徴を獲得している。この理論における量と経験世界の性質との間のなんらかの同定が可能になる前に、理論自体をそれ自身だけで分析する必要がある。その分析によって削除した仮定である通常の理論における観測が明確な役割をもって導かれる。

我々は通常の量子力学の形式について簡潔に述べるところから出発し、理論の修正を求める動機について議論する。

2章へ続く

ブログネタ

Rodhos Softのblogネタを回想します。最近ネタを思いつきません..。

最近はひたすら人工知能後の世界について考えていたのですが巷にそういった類の議論が溢れているのであまり面白みを感じられなくなりつつあります。気ままに車輪の再発明を続けていきたいです。

「神々」

神について考えてみました。
神々 | Rodhos

「幻のプログラマを求めて」

幻の大衆ならぬ幻のプログラマについて考えてみました。
Rodhos | Rodhos | Page 4

「拡散する私」

私を考えることが確固たる出発点なのかというとそうでもないなということを考えてみました。
拡散する私 | Rodhos

「消費するコンピュータ」

次の時代の人工知能のあり方を考えるとそれは消費行動ではないかということを考えてみました。
消費するコンピュータ | Rodhos

「魔術-道具連関」

工学とは何かについて考えてみました。
魔術−道具連関 | Rodhos

「虚無の構造」

西部邁の「虚無の構造」の感想を書いてみました。
虚無の構造 | Rodhos

「プログラミングとカント」

カントの3批判書をプログラマの立場から誤読するということをやってみました。
プログラミングとカント | Rodhos

「夢」

夢が私を見ているということは可能かについて考えてみました。
夢 | Rodhos

書き物

Rodhos Softのブログをリポジトリ代わりにPDFを置いています。


Rodhos Softの書き物
書き物 | Rodhos

内容解説

「Bub 2.5 Locality and separability」はベルの定理を定理における非局所性を深く分析したBubの教科書の内容紹介で公開しておくのは少し価値があるかも。
Bub 2.5 Locality and separability


分析哲学の勃興とグルーのパラドックス」はグルーのパラドックスを階段関数で書けば明確に議論できるのではないかという試作。
分析哲学の勃興とグルーのパラドックス


圏論スケッチ」は絵本のように圏論を理解できることを目指したもの。
圏論スケッチ


誰かが読んで面白がってくれれば幸いです。

繰り込み群とε展開

G.WILSONとJ.KOGUTの「THE RENORMALIZATION GROUP AND THE ε-EXPANSION」(https://pdfs.semanticscholar.org/e372/a0dc3053d0630788bc778dbffd6b4ea5d34b.pdf)
を少し訳してみた。

イントロダクション

本稿の目的は、近年の繰り込み群の研究とその臨界現象と場の理論への応用を議論することです。これらのアイデアは、4-ε空間(場の理論の場合、時空の次元が4-ε)の臨界現象と場の理論で定義し、eのべき乗で展開するという最近の他のアイデアを用いて説明されます。本稿で強調したいことは臨界現象に関してです。特殊な結果ではなく基本的なアイデアを強調するつもりです。


内容は不完全です。このレビューは現在の文献に代わるものではありません。最初の節は一般的で哲学的なものです。後続の節のほとんどはより実用的で、計算の具体的な問題に関することになっています。この節に関連して繰り込み群とε展開についての最近の文献リストがあります。この論文で議論しているトピックの正確な目録に関してはそれらの文献をお読み下さい。

物理における繰り込み群とコヒーレント問題

この節では繰り込み群の哲学的な議論を行います。(このイントロダクションはこの論文の残りを学んだ後に再読すべきです。)最初の節の最後に向けて、臨界現象のレビューを開始します。


繰り込み群は物理の最も困難な問題の幾つかに対処する方法の一つです。そこには相対論的場の理論、臨界現象、近藤効果([1]-[7])等が含まれます。これらは本質的に大きな自由度をともなうことによって特徴づけられています。


物理で扱う問題のほとんどは非常に大きな自由度を含んでいます。例として、マクロスコピックな量での結晶、液体、気体は10の23乗個以上の電子を含み、各電子の座標が自由度になります。


対照的に、殆どの理論的方法は一つの独立変数すなわち一つの自由度のみを持つときにのみうまくいきます。例えば1電子の波動関数ψ(x,y,z)についてのシュレディンガー方程式を考えましょう。シュレディンガー方程式において変数分離ができる場合、ψを計算することは非常に簡単です。(例えば球面座標ψ=ψ1(r)ψ2(θ)ψ3(Φ)。)正当化されているかに関わらず並外れた単純化なしに10^23個の電子の波動関数を計算することは明らかに望みがありません。


通常の環境の元では10^23程の自由度は大幅に減らすことができる可能性があります。


観測量の示量的、示強的特徴(エネルギーは示量的、密度は示強的)はマクロスコピックな系の性質を再構成することを許します。従って、たった1000個のみの原子による液体は、おそらく、10^23個の原子を持つ(同一の温度と圧力を持つ)液体と同じ単位体積と密度あたりほぼ同じのエネルギーをもつことになるでしょう。


定性的な性質を変えることなく気体のサイズをどれだけ減らすことができるのでしょうか。定性的な性質を変えることなく到達できる最小のサイズは相関長と呼ばれます。相関長ξは系の状態に依存します。気体に対してはξは圧力と温度に依存します。都合の良い状況においてξは原子間隔の1,2倍のみになります。ξが小さい時は、系の性質を計算する様々な手法が存在します。(ビリアル展開、摂動展開、ハートリー・フォック手法等。)これらの手法は様々な近似を含みますが皆一つの共通点があります。それは、バルクの物質の性質は原子の小さなクラスターの性質と関係付けることができるという仮定をおいていることです。3つの原子からなるクラスターですら並外れた単純化なしに解くには自由度が多すぎるという理由から、これらの手法をさらなる仮定を含みます。


特別なケースとして、相関長が原子間隔より非常に大きいときがあります。相転移が始まることを示す臨界点が主要な例です。液体-気体相転移強磁性相転移、合金の秩序-無秩序相転移等。すべての臨界点は熱力学的変数の特別な値を持ちます。(液体-気体臨界点は温度Tc,圧力Pcの臨界値を持ちます。)正確には、相関長は臨界点で無限大で、臨界点の近くで大きな値を持ちます。


相関長の特定のサイズに対応する領域において、非常に多くの自由度を持つことで特徴づけられるような問題の一群があります。臨界現象もその一つです。"非常に多くの”とは3や4と言った数ではなく、無限ではないしても数百や数百万を意味します。この一群の問題において臨界現象以外の問題として近藤問題(金属の磁性不純物)、大きな分子の結合、相対論的量子場の主題のすべてがあります。


量子場φ(x)において、各点xでの場φは分離した自由度です。よって有限なサイズのどの領域にも無限個の自由度が含まれます。量子場の相関長は通常もっとも軽い質量の粒子のコンプトン波長です。
量子電磁気学の場合、実際の相関長として働くのは光子のコンプトン波長(∞)よりむしろ電子のコンプトン波長(10^-11cm)です。比較的かんたんに10^-11cm以上のサイズの箱の中の量子電磁気学を全空間における量子電磁気学と関係づけることができます。10^-11cmよりずっと小さい箱は電子と光子の相互作用の大きな歪みを引き起こします。


上記で並べた問題はみな非妥協的、かたくなな問題として知られています。分子の結合は今日では1932年よりは非常によく理解されています。70年代末に、臨界現象における突発的な進歩がありました。量子電磁気学を「計算」することにはセンセーショナルな進展はありましたが、それを理解することについての進展は非常に限られていました。そして、強い相互作用は計算することも理解することもできませんでした。近藤問題は最近研究されたばかりで、解決に近い可能性があります([2,3,7])。


量子場における繰り込み統計力学における臨界現象の研究は両方とも一つの相関長をもつ多自由度の系の振る舞いは一つの相関長を持つ少数自由度のみを持つ系とは質的に異なることを示唆しています。私達が興味のある系は通常、ハミルトニアンで定義されており、通常、系の振る舞いは主にハミルトニアンで表現される相互作用のタイプと結合定数の強さで主に決定されます。これは相関長が小さい時は確かです。しかし、ここで議論する多くの自由度が協調的に振る舞うような問題においては、系の振る舞いは主に協調的な振る舞いが存在することによって、加えてそれら自身の自由度の自然性によって決定されます。相互作用ハミルトニアンは二次的な役割しか持ちません。したがって、臨界現象においては、普遍性という概念が生まれています。すなわち、普遍性においてはすべての相互作用ハミルトニアンが同一の臨界的振る舞いを示します。普遍性のアイデアは"対応状態の法則(law of corresponding states)"において生まれました。これはすべての流体と気体は長さとエネルギースケールのくりこみをのぞいて同一の状態方程式を持つという仮定です。この法則の比較的最近の文献はGuggenheim[8]を参照下さい。最近、普遍性のアイデアはより一般的に任意の相互作用をもつ様々な系での臨界の振る舞いを関係づけるように定式化されました。例としてKandanoff[9]を参照下さい。普遍性は以下でさらにそして12節でも議論することになります。

ジャルジンスキ等式

ジャルジンスキ等式の原論文「A nonequilibrium equality for free energy differences」を
機械翻訳を援用して一部を訳してみる。

[cond-mat/9610209] A nonequilibrium equality for free energy differences

アブストラクト

ある配位から他の配位へパラメトリックに切り替える仕事の有限時間測定のアンサンブルの観点から、システムの2つの配位間の古典的自由エネルギー差についての式が導き出される。
2つのよく知られた平衡系の恒等式が、この結果の限定的なケースとして出てくる。

本文

熱浴と接触している有限の古典系を考える。 熱力学の中心的概念は、システムのいくつかの外部パラメータが時間とともに変化するようなシステムで行われる仕事の概念である。
(これらのパラメータは、例えば、外場の強度、またはシステムが閉じ込められている空間の体積、またはより抽象的に分子力学シュミレーションの過程でオンまたはオフにされるある粒子 - 粒子相互作用等)。

パラメータが初期点Aからパラメータ空間内の最終点Bまでのある経路γに沿って無限にゆっくりと変化すると、システム上で実行される全仕事Wは初期配位と最終配位との間のヘルムホルツ自由エネルギー差ΔFに等しい (ランダウ-リフシッツの教科書参照):

W =ΔF≡F_B - F_A

対照的に、パラメータが有限の速度でγに沿って切り換えられる場合、Wはシステムおよび熱浴の微視的初期条件に依存し、その平均はΔFを超えることになる:


{ \displaystyle
\bar{W} \geq ΔF (1)
}


ここと以下で述べる式2において、上についているバーは、Wの測定値のアンサンブル全体の平均値を示し、各測定は、最初にAにおけるパラメータを固定して温度Tでシステムと熱浴を平衡させた後に行われる。 (AからBまでの経路γ、およびこの経路に沿ってパラメータが切り替えられる速度は、ある測定値から次の測定値まで変化しない)。 差\bar{W}-ΔFは、ちょうど、散逸された仕事W_dissであり、不可逆プロセス中のエントロピーの増加に関連している。


式1は不等式である。 対照的に、この論文で得られた新しい結果は、次のような等式である。

\overline{\exp{-\beta W}} = \exp{-\beta \Delta F}  (2a)

または同等に

\Delta F = - \beta^{-1} \ln \overline{\exp{-\beta W}}  (2b)

ここで、β≡1 / kBTである。

この結果は上記で記述される非平衡(有限時間)測定のアンサンブルから平衡情報(自由エネルギー差ΔF)を抽出することを可能にする。そして、AからBへの経路γと、 パスに沿ってパラメータが切り替わる速度に独立である。

自己エントロピーとはなんだろうか。

自己エントロピーとはなんだろうと漠然と考えていました。

エントロピーというのは自己エントロピーの平均値です。そして確率(P)は自己エントロピー(I)と対数で関係します。I = -log P。これはP = e^-Iとも書けます。
つまり、自己エントロピーは高いと確率が低くなります。

もし、N本中nの当たりくじがあるおみくじがあると、当たる確率はP(当たる)=n/Nなので、自己エントロピーはI = -log(n/N) = log N - log n です。

必ず当たるくじの自己エントロピーは0になり、N本中1本しか当たらないくじの自己エントロピーはlogNになります。

ここで I(n) = -log(n/N)と書くことにすると

I(n) = logN - log n
です。

式変形してやると

n = (1/N) e^-I(n)

という関係式が得られました。これは何を意味しているのでしょうか。

くりこみ理論

「A hint of renormalization」Bertrand Delamotte (arXiv:hep-th/0212049)
の一部を機械翻訳を使いつつ訳してみました。各小節はこちらが勝手につけました。

序文

Betheによるくりこみ

Hans Betheは、1947年の精密な論文の中で、水素原子の2sと2pレベルの間のラムシフトと呼ばれるエネルギーギャップを最初に計算しました。そして、相対論的訂正を含むDiracの理論においてさえ、これらのレベルは縮退していることが判明しました。何人か著者は、シフトの起源は電子とそれ自身の放射線場(およびクーロン場だけでなく)との相互作用であり得ることを示唆していました。Betheは「このシフトは既存の理論すべてで無限に出てきており、常に無視されているものです。」という言葉を残しています。Betheの計算は有限で正確な結果をもたらす最初のものでした。ここから最近の摂動的な意味でいうところのくりこみが生まれました。

発散の起源は相対論にある

それ以来くりこみは(ほぼ)全ての量子場理論(QFT)摂動理論の各順序で現れる無限を取り除くための一般的なアルゴリズムに発展しました。
その間にこれらの発散の物理的起源についても説明も行われました(くりこみとくりこみ群の歴史と哲学に関する多くの興味深い貢献については参考文献8を参照)。

QFTでは通常の量子力学のように物理的プロセスの摂動計算において各順序で(仮想)中間状態にわたる総和を計算します。しかし理論がローレンツ不変であればガリレイ不変の場合に比べて無限の補足的な状態が存在し、その総和は一般に発散的で無限大を生み出します。

量子論と相対論を組み合わせるとコンプトン波長という長さのスケールが出現する

これらの「新しい」状態の起源は、量子力学と特殊相対性理力に深く根ざしています。これらの2つの理論を組み合わせると、コンプトン波長h/2πmcという粒子の質量mから構築された新しい長さスケールが現れます。h= 0とc =∞という形式的な極限の両方で消滅し、古典理論とガリレオ理論にそれぞれ対応しています。

粒子の生成消滅

ハイゼンベルクの不等式のため、プロービング距離の長さスケールよりも小さいものは、mc^2よりも高いエネルギーを必要とし、したがって粒子の生成を意味します。粒子を作成して消滅させるこの可能性は、作成されたばかりの粒子が元の粒子と厳密に同一であるため、元の粒子の位置をコンプトン波の長さよりも良好に定めることを禁止します。

無限の起源は仮想状態として多粒子状態が発生すること。

量子力学的には、これらの多粒子状態は、研究中のプロセスに関わるエネルギーがmc^2よりも低い場合でも、摂動理論の仮想状態として合計されるため、役割を果たす。したがって、QFTにおける摂動論の発散は、その記述が多粒子状態の無限を含むので、非常に非自明な短距離構造に直接結びついています。

無限との格闘

これらの発散を取り除くことは、素粒子物理学で働く多くの物理学者にとっての悪夢であり喜びでもありました。 量子力学相対性理論、電気力学などの事前知識が必要だったため、非専門家にはくりこみを理解することは絶望的でした。
このような状況は、問題の壮大さを醸し出しました。物質の究極の構成要素を研究することと、理解不能であることとは、お互いよくフィットしました。

ウィルソンによるくりこみの理解。くりこみは量子論とも相対論とも関係がなかった。

しかし、不思議なことに(少なくとも一見)、アルゴリズムの面を超えたくりこみの理解における理論的なブレークスルーは、ウィルソンの連続相転移に関する研究から来ました。これらの遷移で起こる現象は、量子力学的でも相対論的でもありませんでした。そして何よりその協調的行動、つまり遠距離での性質による非自明さでした。

 したがって、くりこみにはhとcのいずれも必要ではなかく、他の何かが働いていたのでした。それは量子力学も相対論も仮想状態の足し上げも、コンプトン波長他も要求とはしないものでした。これらは単に素粒子物理学の文脈では、くりこみを必要とさせたものではあったというだけでした。

実際、QFTの主要な問題であると思われる発散も、今日では量子場理論を解釈した方法の副産物としか考えられていません。

くりこみ群

我々は、今日では、協調現象が起こるような(より正確にはコヒーレントにゆらぎが増していくような)エネルギー(ないし長さ)のスケールにおける領域の理論群の中の存在としてこの見えざる手が存在していることを知っています。この見えざる手がある理論においては発散を作り出します。

場合によっては、私たちが頼りにしている物理的なイメージを不安定にする可能性があり、これは発散として現れます。

くりこみ、さらにはくりこみ群は、これらのゆらぎを扱う正しい方法です。

この論文の目標

この記事の目的の1つは、何が場の理論に特有なことで、何がくりこみの過程に本質なことなのかを解明することです。

したがって、我々は発散を示す物理モデルを得ようとはせず、物理モデルを特定することなく、摂動的くりこみの一般的なメカニズムとくりこみ群を示したいと思います。

以下では、仮定として、自由パラメータを一つだけ含む不特定の理論を考えます。そのもとである物理量を表す関数F(x)は摂動的つまりべき級数として計算されます。

QFTの一つの例は、電子などの荷電粒子と電磁場との相互作用を説明する量子電気力学(QED)です。高エネルギープロセスでは、電子の質量は無視できるものであり、このエネルギー領域におけるこの理論の唯一のパラメータは電荷であり、したがってg0のアナロジーになります。

よってFは散乱過程の断面積を表現することができます。例として、重い核子上の電子の散乱のようなものを考えることができます。そこではxは電子のエネルギー運動量4元ベクトルになります。

結合定数g0は、システムのハミルトニアンによって定義され、Fは、通常の( Feynmanによる)アプローチを用いて摂動的に計算されます。

別の重要な例は、連続的な相転移です。流体の場合、Fは密度 - 密度相関関数を表し、磁気はスピン - スピン相関関数を表すことができます。

 さらに別の例は、ある物理的な状況で発生し、発散を示すことができる微分方程式の解法です。

三角行列

上3角行列は左下がすべて0な行列。下3角行列は右上がすべて0な行列。

性質
1. 三角行列Aの行列式detAは対角成分の積に等しい。(行列式の定義よりわかる。)
2. 三角行列Aの固有値は対角成分に等しい。(行列式固有値の定義よりわかる。)
3. 上三角行列同士の積は上三角行列、正則な場合逆行列も上三角行列
4. 下(略)

三角化

正則行列Pを使って正方行列AがP^-1 A P で三角行列になる場合、これを三角化と呼ぶ。

Aの固有値(λ1,..λn)としてAは適当なユニタリ行列UによってU^-1 A U で対角成分が固有値になるような三角行列に三角化できる。

手続き1

1. λ1の固有ベクトルをu1とする。

2. 正規直交基底としてu1,u2,..,unを取り、
U1 = (u1,..,un)
を作る。

3. Aを相似変換する。
U1^-1 A U1 = U1^-1 A (u1,...,un) = U1^-1 (λ1u1,Au2,...,Aun) = (λ1e1,U1^-1Au2,...,U1^-1Aun)

ここでe1は(1,0,..,0)の縦行列。

これで第1行はできた。次に第1行と第1列をはずした行列に対して固有値λ2に対して同様のことを行う。ということを繰り返す。




参考
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/SHIBAURA/2011-2/linalg2exe/lecture12.pdf

可換環の極大イデアル、素イデアル

以下は可換環のこと

定義 極大イデアル

極大イデアルは、非自明なイデアルの包含関係において極大のもの。

定理1 極大イデアルであることはその剰余環が非自明なイデアルをもたないこと

定義 体

非自明なイデアルをもたない環

定理2 極大イデアルの剰余環が体

設定

  1. 可換環R
  2. RのイデアルI(ただしI≠R)

主張

Iが極大イデアル ⇔ R/Iが体

証明

定理1より、
Iが極大イデアル ⇔ R/Iが非自明なイデアルをもたない。⇔ R/Iが体

定義 素イデアル

a,b∈Rでab∈Iのとき、a∈Iかb∈Iであること。

同値な定義

Iが可換環Rの素イデアルであるとはR/Iが整域であること

定理3 極大イデアルは素イデアル

証明

定理2よりIが極大イデアル ⇔ R/Iが体 ⇒ R/Iが整域 ⇔ Iが素イデアル
よって極大イデアル⇒素イデアル