層の定義
層
前層...位相空間X上の前層F
開集合 U ⊂ X に対し アーベル群 F(U)
開埋め込み V ⊂ U に対して アーベル群の準同型 ρUV:F(U)->F(V) .. 制限写像
ρUVの制限:
1. ρUU:F(U)->F(U) = 恒等写像
2. 3つの開集合 W⊂V⊂U に対し ρUW = ρVW.ρUV
ρUV(s) は s|V とも書く。
層 F
- 前層である
- s∈F(U)があるとして、 all i s|Vi = 0 -> s=0
- 各si∈F(Ui)に対して(si|Vi∩Vj = sj|Vi∩Vj) -> ∃s∈F(U)(s|Vi = si)
用語:
U上の切断 := F(U)の元
大域切断 := F(X)の元 ... Γ(X,F)と書く。
茎 ... x∈位相空間Xにおける茎Fx := lim_x∈U F(U)
層化 前層から層を構成する手続き
層の押し出し f_* F ... f: X -> Y , 位相空間 X,Y
f_* F(U⊂Y) := F(f^-1(U))
層の引き戻し f^-1 F ...
f^-1 F(V⊂X) := lim_f(V)⊂U F(U)
注: 必ずしも層にならないの層化の必要あり
環の層
F(U)が環