2016-08-23 可換環の極大イデアル、素イデアル 環論 以下は可換環のこと 定義 極大イデアル 極大イデアルは、非自明なイデアルの包含関係において極大のもの。 定理1 極大イデアルであることはその剰余環が非自明なイデアルをもたないこと 定義 体 非自明なイデアルをもたない環 定理2 極大イデアルの剰余環が体 設定 可換環R RのイデアルI(ただしI≠R) 主張 Iが極大イデアル ⇔ R/Iが体 証明 定理1より、 Iが極大イデアル ⇔ R/Iが非自明なイデアルをもたない。⇔ R/Iが体 定義 素イデアル a,b∈Rでab∈Iのとき、a∈Iかb∈Iであること。 同値な定義 Iが可換環Rの素イデアルであるとはR/Iが整域であること 定理3 極大イデアルは素イデアル 証明 定理2よりIが極大イデアル ⇔ R/Iが体 ⇒ R/Iが整域 ⇔ Iが素イデアル よって極大イデアル⇒素イデアル
