超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

2023-11-27から1日間の記事一覧

完全、可分(separable)

直交系をK={e_i}とする。 ヒルベルト空間の任意のベクトルψがKで展開できるときKを完全であるといい、e_iを基底と呼ぶ。 基底の数が有限であるとき、その個数MをM次元とよぶ。無限のとき、無限次元と呼ぶ。 完全な基底系を持たないヒルベルト空間は可分(Sepa…

演算子Aがヒルベルト空間のすべてのベクトルに対して期待値を持つとは限らないこと

調和振動子を例にあげる。 そのエネルギー固有値は Hu_n = Eν uν E_ν = (ν + 1/2) hω である。 このu_ν全体がヒルベルト空間Hの完全系を作る。 よって、ヒルベルト空間Hの任意のベクトルψがこれらの重ね合わせでかける。 ψ = Σν γν u_ν ここでエネルギー期待…

ヒルベルト空間の演算子

ヒルベルト空間Hの演算子Aは 定義域をD(A) 、値域をR(A)として φ = A ψ φ ∈ R(A) ψ ∈ D(A) と書く。 演算子が物理量であるとき 内積 <ψ, Aψ>は実数である必要がある。 演算子がエルミートであるとは <φ, Aψ> = <Aφ, ψ> が成立することである。 演算子がエルミートで</aφ,>…