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超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

可換環の極大イデアル、素イデアル

以下は可換環のこと

定義 極大イデアル

極大イデアルは、非自明なイデアルの包含関係において極大のもの。

定理1 極大イデアルであることはその剰余環が非自明なイデアルをもたないこと

定義 体

非自明なイデアルをもたない環

定理2 極大イデアルの剰余環が体

設定

  1. 可換環R
  2. RのイデアルI(ただしI≠R)

主張

Iが極大イデアル ⇔ R/Iが体

証明

定理1より、
Iが極大イデアル ⇔ R/Iが非自明なイデアルをもたない。⇔ R/Iが体

定義 素イデアル

a,b∈Rでab∈Iのとき、a∈Iかb∈Iであること。

同値な定義

Iが可換環Rの素イデアルであるとはR/Iが整域であること

定理3 極大イデアルは素イデアル

証明

定理2よりIが極大イデアル ⇔ R/Iが体 ⇒ R/Iが整域 ⇔ Iが素イデアル
よって極大イデアル⇒素イデアル