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超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

リー微分

リー微分を調べた。Wikipedia参照

関数のリー微分

関数のリー微分は以下で定義する。
{\cal L}_{X}f(p)\equiv\langle df(p),X\rangle(p)

これを成分で計算すると
=\langle dx^{i}\frac{\partial f(p)}{\partial x^{i}},X^{j}\frac{\partial}{\partial x^{j}}\rangle(p)

外に出して、
=\frac{\partial f(p)}{\partial x^{i}}X^{j}\langle dx^{i},\frac{\partial}{\partial x^{j}}\rangle(p)

あとは内積を計算して
=X^{i}\frac{\partial f(p)}{\partial x^{i}}
=\nabla_{X}f(p)

こうとも書ける。
\mathcal{L}_{X}f(p)=X(f)(p)

ベクトルのリー微分

ベクトルのリー微分は以下で定義する。
{\cal L}_{X}Y\equiv[X,Y]

括弧はリー括弧で
[X,Y](f) \equiv X(Y(f))-Y(X(f))

これを成分で書くと
=X^{i}\frac{\partial Y}{\partial x^{i}}(f)-Y^{i}\frac{\partial X}{\partial x^{i}}(f)

=X^{i}\frac{\partial Y^{j}}{\partial x^{i}}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}-Y^{i}\frac{\partial X^{j}}{\partial x^{i}}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}

まとめると

[X,Y]=\left(X^{i}\frac{\partial Y^{j}}{\partial x^{i}}-Y^{i}\frac{\partial X^{j}}{\partial x^{i}}\right)\frac{\partial}{\partial x^{j}}

微分形式のリー微分


内部積を用いると
\mathcal{L}_{X}\omega=i_{X}d\omega+d(i_{X}\omega)

内部積の定義は次回。。

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