くりこみ理論 - 超幻日記

「A hint of renormalization」Bertrand Delamotte (arXiv:hep-th/0212049)
の一部を機械翻訳を使いつつ訳してみました。各小節はこちらが勝手につけました。

序文

Betheによるくりこみ

Hans Betheは、1947年の精密な論文の中で、水素原子の2sと2pレベルの間のラムシフトと呼ばれるエネルギーギャップを最初に計算しました。そして、相対論的訂正を含むDiracの理論においてさえ、これらのレベルは縮退していることが判明しました。何人か著者は、シフトの起源は電子とそれ自身の放射線場（およびクーロン場だけでなく）との相互作用であり得ることを示唆していました。Betheは「このシフトは既存の理論すべてで無限に出てきており、常に無視されているものです。」という言葉を残しています。Betheの計算は有限で正確な結果をもたらす最初のものでした。ここから最近の摂動的な意味でいうところのくりこみが生まれました。

発散の起源は相対論にある

それ以来くりこみは（ほぼ）全ての量子場理論（QFT）摂動理論の各順序で現れる無限を取り除くための一般的なアルゴリズムに発展しました。
その間にこれらの発散の物理的起源についても説明も行われました（くりこみとくりこみ群の歴史と哲学に関する多くの興味深い貢献については参考文献8を参照）。

QFTでは通常の量子力学のように物理的プロセスの摂動計算において各順序で（仮想）中間状態にわたる総和を計算します。しかし理論がローレンツ不変であればガリレイ不変の場合に比べて無限の補足的な状態が存在し、その総和は一般に発散的で無限大を生み出します。

量子論と相対論を組み合わせるとコンプトン波長という長さのスケールが出現する

これらの「新しい」状態の起源は、量子力学と特殊相対性理力に深く根ざしています。これらの2つの理論を組み合わせると、コンプトン波長h/2πmcという粒子の質量mから構築された新しい長さスケールが現れます。h= 0とc =∞という形式的な極限の両方で消滅し、古典理論とガリレオ理論にそれぞれ対応しています。

粒子の生成消滅

ハイゼンベルクの不等式のため、プロービング距離の長さスケールよりも小さいものは、mc^2よりも高いエネルギーを必要とし、したがって粒子の生成を意味します。粒子を作成して消滅させるこの可能性は、作成されたばかりの粒子が元の粒子と厳密に同一であるため、元の粒子の位置をコンプトン波の長さよりも良好に定めることを禁止します。

無限の起源は仮想状態として多粒子状態が発生すること。

量子力学的には、これらの多粒子状態は、研究中のプロセスに関わるエネルギーがmc^2よりも低い場合でも、摂動理論の仮想状態として合計されるため、役割を果たす。したがって、QFTにおける摂動論の発散は、その記述が多粒子状態の無限を含むので、非常に非自明な短距離構造に直接結びついています。

無限との格闘

これらの発散を取り除くことは、素粒子物理学で働く多くの物理学者にとっての悪夢であり喜びでもありました。量子力学、相対性理論、電気力学などの事前知識が必要だったため、非専門家にはくりこみを理解することは絶望的でした。
このような状況は、問題の壮大さを醸し出しました。物質の究極の構成要素を研究することと、理解不能であることとは、お互いよくフィットしました。

ウィルソンによるくりこみの理解。くりこみは量子論とも相対論とも関係がなかった。

しかし、不思議なことに（少なくとも一見）、アルゴリズムの面を超えたくりこみの理解における理論的なブレークスルーは、ウィルソンの連続相転移に関する研究から来ました。これらの遷移で起こる現象は、量子力学的でも相対論的でもありませんでした。そして何よりその協調的行動、つまり遠距離での性質による非自明さでした。

したがって、くりこみにはhとcのいずれも必要ではなかく、他の何かが働いていたのでした。それは量子力学も相対論も仮想状態の足し上げも、コンプトン波長他も要求とはしないものでした。これらは単に素粒子物理学の文脈では、くりこみを必要とさせたものではあったというだけでした。

実際、QFTの主要な問題であると思われる発散も、今日では量子場理論を解釈した方法の副産物としか考えられていません。

くりこみ群

我々は、今日では、協調現象が起こるような(より正確にはコヒーレントにゆらぎが増していくような)エネルギー(ないし長さ)のスケールにおける領域の理論群の中の存在としてこの見えざる手が存在していることを知っています。この見えざる手がある理論においては発散を作り出します。

場合によっては、私たちが頼りにしている物理的なイメージを不安定にする可能性があり、これは発散として現れます。

くりこみ、さらにはくりこみ群は、これらのゆらぎを扱う正しい方法です。

この論文の目標

この記事の目的の1つは、何が場の理論に特有なことで、何がくりこみの過程に本質なことなのかを解明することです。

したがって、我々は発散を示す物理モデルを得ようとはせず、物理モデルを特定することなく、摂動的くりこみの一般的なメカニズムとくりこみ群を示したいと思います。

以下では、仮定として、自由パラメータを一つだけ含む不特定の理論を考えます。そのもとである物理量を表す関数F(x)は摂動的つまりべき級数として計算されます。

QFTの一つの例は、電子などの荷電粒子と電磁場との相互作用を説明する量子電気力学（QED）です。高エネルギープロセスでは、電子の質量は無視できるものであり、このエネルギー領域におけるこの理論の唯一のパラメータは電荷であり、したがってg0のアナロジーになります。

よってFは散乱過程の断面積を表現することができます。例として、重い核子上の電子の散乱のようなものを考えることができます。そこではxは電子のエネルギー運動量4元ベクトルになります。

結合定数g0は、システムのハミルトニアンによって定義され、Fは、通常の（ Feynmanによる）アプローチを用いて摂動的に計算されます。

別の重要な例は、連続的な相転移です。流体の場合、Fは密度 - 密度相関関数を表し、磁気はスピン - スピン相関関数を表すことができます。

さらに別の例は、ある物理的な状況で発生し、発散を示すことができる微分方程式の解法です。