超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

リー微分

微分幾何

リー微分を調べた。Wikipedia参照

関数のリー微分

関数のリー微分は以下で定義する。
{\cal L}_{X}f(p)\equiv\langle df(p),X\rangle(p)

これを成分で計算すると
=\langle dx^{i}\frac{\partial f(p)}{\partial x^{i}},X^{j}\frac{\partial}{\partial x^{j}}\rangle(p)

外に出して、
=\frac{\partial f(p)}{\partial x^{i}}X^{j}\langle dx^{i},\frac{\partial}{\partial x^{j}}\rangle(p)

あとは内積を計算して
=X^{i}\frac{\partial f(p)}{\partial x^{i}}
=\nabla_{X}f(p)

こうとも書ける。
\mathcal{L}_{X}f(p)=X(f)(p)

ベクトルのリー微分

ベクトルのリー微分は以下で定義する。
{\cal L}_{X}Y\equiv[X,Y]

括弧はリー括弧で
[X,Y](f) \equiv X(Y(f))-Y(X(f))

これを成分で書くと
=X^{i}\frac{\partial Y}{\partial x^{i}}(f)-Y^{i}\frac{\partial X}{\partial x^{i}}(f)

=X^{i}\frac{\partial Y^{j}}{\partial x^{i}}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}-Y^{i}\frac{\partial X^{j}}{\partial x^{i}}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}

まとめると

[X,Y]=\left(X^{i}\frac{\partial Y^{j}}{\partial x^{i}}-Y^{i}\frac{\partial X^{j}}{\partial x^{i}}\right)\frac{\partial}{\partial x^{j}}

微分形式のリー微分


内部積を用いると
\mathcal{L}_{X}\omega=i_{X}d\omega+d(i_{X}\omega)

内部積の定義は次回。。

ブラックホールを調べる

ブラックホール

数式を書くのが大変面倒なことに気づいた。

なんとなくやはりブラックホールから始めないといけない気がしたのでブラックホールを理解していこうと思う。

ブラックホールを理解するためには一般相対論が必要だろう。一般相対論は重力を空間の曲がりとみなすことで議論をする。すると空間の曲がりを記述する数学的な言葉が必要である。そのようなものとしてリーマン幾何学がある。

リーマン幾何学は多様体に計量という場を定義したようなものである。この計量から曲がり具合が計算でき曲率や捩率といったものが計算できる。

これから記述するのは昔読んだ教科書などからの荒い再構成(再勉強)にしたいと思う。

とりあえず以下の本など…

はじめに

このブログはかつて超弦理論を研究してみたり量子論をいじったりしていた一辺境の民(アマチュアとも言う)が、学会から遠いところで好き勝手に色々書いたり学んだりしてみる日記帳です。なのでプロの方は優しくページを閉じていただければ幸いです。

何度か似たようなブログを立ち上げた気がしますが、気のせいです。