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超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

三角行列

線形代数

上3角行列は左下がすべて0な行列。下3角行列は右上がすべて0な行列。

性質
1. 三角行列Aの行列式detAは対角成分の積に等しい。(行列式の定義よりわかる。)
2. 三角行列Aの固有値は対角成分に等しい。(行列式固有値の定義よりわかる。)
3. 上三角行列同士の積は上三角行列、正則な場合逆行列も上三角行列
4. 下(略)

三角化

正則行列Pを使って正方行列AがP^-1 A P で三角行列になる場合、これを三角化と呼ぶ。

Aの固有値(λ1,..λn)としてAは適当なユニタリ行列UによってU^-1 A U で対角成分が固有値になるような三角行列に三角化できる。

手続き1

1. λ1の固有ベクトルをu1とする。

2. 正規直交基底としてu1,u2,..,unを取り、
U1 = (u1,..,un)
を作る。

3. Aを相似変換する。
U1^-1 A U1 = U1^-1 A (u1,...,un) = U1^-1 (λ1u1,Au2,...,Aun) = (λ1e1,U1^-1Au2,...,U1^-1Aun)

ここでe1は(1,0,..,0)の縦行列。

これで第1行はできた。次に第1行と第1列をはずした行列に対して固有値λ2に対して同様のことを行う。ということを繰り返す。




参考
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/SHIBAURA/2011-2/linalg2exe/lecture12.pdf

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