超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

層の定義

前層...位相空間X上の前層F

開集合 U ⊂ X に対し アーベル群 F(U)
開埋め込み V ⊂ U に対して アーベル群の準同型 ρUV:F(U)->F(V) .. 制限写像
ρUVの制限:
1. ρUU:F(U)->F(U) = 恒等写像
2. 3つの開集合 W⊂V⊂U に対し ρUW = ρVW.ρUV

ρUV(s) は s|V とも書く。

層 F

  1. 前層である
  2. s∈F(U)があるとして、 all i s|Vi = 0 -> s=0
  3. 各si∈F(Ui)に対して(si|Vi∩Vj = sj|Vi∩Vj) -> ∃s∈F(U)(s|Vi = si)

用語:
U上の切断 := F(U)の元
大域切断 := F(X)の元 ... Γ(X,F)と書く。
茎 ... x∈位相空間Xにおける茎Fx := lim_x∈U F(U)

層化 前層から層を構成する手続き

層の押し出し f_* F ... f: X -> Y , 位相空間 X,Y

f_* F(U⊂Y) := F(f^-1(U))

層の引き戻し f^-1 F ...

f^-1 F(V⊂X) := lim_f(V)⊂U F(U)

注: 必ずしも層にならないの層化の必要あり

環の層

F(U)が環

局所環付き空間 (X, O_X) .. O_Xを構造層と呼ぶ。

Xは位相空間
O_Xは環の層

x∈Xにおいて
O_Xの茎 O_X,x が局所環であること。

射 : (X1, O_X1) -> (X2, O_X2)

連続写像 f:X1 -> X2
環の層の射 ψ:OX2 -> f*OX1

x∈Xにおいて
誘導される射: OX2,f(x) -> OX1,x
が極大イデアルを極大イデアルに移すこと。

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