超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

内部積

多様体M上に1次の微分形式\omega\in \Lambda^{1}(M)があるとする。
これとM上のベクトル場Xとの内部積として
(i_X \omega)(X_1) = 2\omega(X,X_1)

つまり
\Lambda^1(M)\to\Lambda^2(M)

微分形式が一般のk次のときも同様に

\Lambda^k(M)\to\Lambda^{k+1}(M)
(i_X \omega)(X_1,...,X_k) = (k+1)\omega(X,X_1,...,X_k)

例として
\omega = dx\wedge dy

\omega(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) = dx\wedge dy(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})

= \frac{1}{2} i_{\frac{\partial}{\partial x}}dy(\frac{\partial}{\partial y})

となるはず。

内部積の話は続く。。

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