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超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

環のスペクトル

環のスペクトル - Wikipedia 環の素イデアルの集合を環のスペクトルと呼ぶ。環RとしてSpec(R)と書く。Spec(R)にはザリスキ位相を入れることができる。素イデアルは部分多様体のような役割になり、一方で極大イデアルが点の役割を果たすようになるらしい。

昇鎖条件と降鎖条件

昇鎖条件 - Wikipedia大小関係の列があったとして(詳しく言うと半順序集合)、大なりがどこかで止まる列を昇鎖条件を満たすという。 反対に下がっていくほうがどこかで止まるのが降鎖条件。ネーター環というのはイデアルの包含関係が昇鎖条件を満たしているも…

単純環

単純環 - Wikipedia自明なイデアル(つまり0と環自身)しかイデアルがないような環のこと。ようするに面白いイデアルのないシンプルな構造の環になっている。もう少し何が言えるのかは今後。

真のイデアル

イデアル (環論) - Wikipedia イデアル [物理のかぎしっぽ] イデアルというと環自身がそのままでイデアルの一つであるが、そういうイデアルでないイデアルを真のイデアルと呼ぶことがある。さらにいうと、0と環そのものという二つを自明なイデアルと呼んで…

ゼロ因子

零因子 - Wikipediaゼロ因子とは、0自身の他に0でもないのに掛けたら0になってしまう詐欺のような元のことである。そういう詐欺をしない正しい元を正則な元と呼ぶ。

剰余環  環はイデアルで割れる

剰余環 - Wikipedia商環ともいう。環はイデアル分を足しても同値とみなす同値類によって類別されて、 つまり、 a〜bをb-a∈Iとして、[a] = a + I というような元をつくる。[a] + [b] = [a + b] みたいな自然な感じに演算が定義できて環になっている。いわば、…

素イデアル

素イデアル - Wikipediaイデアルが元の環の積でかけている時は必ず、その積の少なくとも片方がそのイデアルの元になっているという性質を持つイデアルを素イデアルと呼ぶ。つまり、環R、イデアルPとして、環Rの元a,bでab∈Pのとき、a∈Pかb∈PとなっていればPは…

極大イデアル

極大イデアル - Wikipedia イデアルは集合として包含関係をつけていくことができる。その包含関係の極大のものを極大イデアルという。当然、環について極大イデアルは複数あって良い。 逆にいえば極大イデアルが一個しかない環は特殊であって、そのような環…

単項イデアル整域

単項イデアル整域 - Wikipedia整域なんだけど、つまりゼロ因子を持たない環なんだけど、それに加えてその環のイデアルがどれも単項イデアルになるような環。主環、主イデアル整域、principal ideal domain、PIDとも呼ばれる。単項イデアル整域つまりPIDであ…

整域

整域 - Wikipedia0以外に0因子を持たない可換環。ちなみに{0}(自明環)はだめとする。割る(整除する)ことができるようになる。a,b∈Rが、ax=b、x∈Rのとき、a|bとかく。a|1のとき、aを単元と呼ぶ。 a|bでb|aならa,bは同伴と呼ぶ。あと既約元と素元という概念が…

イデアルの生成

環Rの部分集合をXとする。 今簡単のためX={x1,x2}とする。 このXによって生成する左イデアルは {r1x1+r2x2|r1,r2∈R}同様にXによって生成する右イデアル、両側イデアルも定義できる。 単項イデアル(主イデアル) Xが一個だけX={x}で生成されるイデアル。(x)と…

イデアル

イデアル (環論) - Wikipedia 環Rの部分集合Iがイデアルとはr∈R i∈Iri = i'となるi'∈Iがある。ここでは左イデアルで説明した。両側イデアルを単にイデアルと呼ぶ。 環が0と自身以外にイデアルを持たないとき、つまり自明なイデアルしか持たない時、その環を…