超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

三角行列

上3角行列は左下がすべて0な行列。下3角行列は右上がすべて0な行列。

性質
1. 三角行列Aの行列式detAは対角成分の積に等しい。(行列式の定義よりわかる。)
2. 三角行列Aの固有値は対角成分に等しい。(行列式固有値の定義よりわかる。)
3. 上三角行列同士の積は上三角行列、正則な場合逆行列も上三角行列
4. 下(略)

三角化

正則行列Pを使って正方行列AがP^-1 A P で三角行列になる場合、これを三角化と呼ぶ。

Aの固有値(λ1,..λn)としてAは適当なユニタリ行列UによってU^-1 A U で対角成分が固有値になるような三角行列に三角化できる。

手続き1

1. λ1の固有ベクトルをu1とする。

2. 正規直交基底としてu1,u2,..,unを取り、
U1 = (u1,..,un)
を作る。

3. Aを相似変換する。
U1^-1 A U1 = U1^-1 A (u1,...,un) = U1^-1 (λ1u1,Au2,...,Aun) = (λ1e1,U1^-1Au2,...,U1^-1Aun)

ここでe1は(1,0,..,0)の縦行列。

これで第1行はできた。次に第1行と第1列をはずした行列に対して固有値λ2に対して同様のことを行う。ということを繰り返す。




参考
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/SHIBAURA/2011-2/linalg2exe/lecture12.pdf

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可換環の極大イデアル、素イデアル

以下は可換環のこと

定義 極大イデアル

極大イデアルは、非自明なイデアルの包含関係において極大のもの。

定理1 極大イデアルであることはその剰余環が非自明なイデアルをもたないこと

定義 体

非自明なイデアルをもたない環

定理2 極大イデアルの剰余環が体

設定

  1. 可換環R
  2. RのイデアルI(ただしI≠R)

主張

Iが極大イデアル ⇔ R/Iが体

証明

定理1より、
Iが極大イデアル ⇔ R/Iが非自明なイデアルをもたない。⇔ R/Iが体

定義 素イデアル

a,b∈Rでab∈Iのとき、a∈Iかb∈Iであること。

同値な定義

Iが可換環Rの素イデアルであるとはR/Iが整域であること

定理3 極大イデアルは素イデアル

証明

定理2よりIが極大イデアル ⇔ R/Iが体 ⇒ R/Iが整域 ⇔ Iが素イデアル
よって極大イデアル⇒素イデアル

層の定義

前層...位相空間X上の前層F

開集合 U ⊂ X に対し アーベル群 F(U)
開埋め込み V ⊂ U に対して アーベル群の準同型 ρUV:F(U)->F(V) .. 制限写像
ρUVの制限:
1. ρUU:F(U)->F(U) = 恒等写像
2. 3つの開集合 W⊂V⊂U に対し ρUW = ρVW.ρUV

ρUV(s) は s|V とも書く。

層 F

  1. 前層である
  2. s∈F(U)があるとして、 all i s|Vi = 0 -> s=0
  3. 各si∈F(Ui)に対して(si|Vi∩Vj = sj|Vi∩Vj) -> ∃s∈F(U)(s|Vi = si)

用語:
U上の切断 := F(U)の元
大域切断 := F(X)の元 ... Γ(X,F)と書く。
茎 ... x∈位相空間Xにおける茎Fx := lim_x∈U F(U)

層化 前層から層を構成する手続き

層の押し出し f_* F ... f: X -> Y , 位相空間 X,Y

f_* F(U⊂Y) := F(f^-1(U))

層の引き戻し f^-1 F ...

f^-1 F(V⊂X) := lim_f(V)⊂U F(U)

注: 必ずしも層にならないの層化の必要あり

環の層

F(U)が環

局所環付き空間 (X, O_X) .. O_Xを構造層と呼ぶ。

Xは位相空間
O_Xは環の層

x∈Xにおいて
O_Xの茎 O_X,x が局所環であること。

射 : (X1, O_X1) -> (X2, O_X2)

連続写像 f:X1 -> X2
環の層の射 ψ:OX2 -> f*OX1

x∈Xにおいて
誘導される射: OX2,f(x) -> OX1,x
が極大イデアルを極大イデアルに移すこと。

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米田の補題

圏Cから(Sets)への関手Fがあるとする。
Cの対象Aを取る。

米田の補題
θ:Nat(H^A, F) -> F(A) がbijection
θ(η) := ηA(1_A)

証明:

主張1: θがinjection

ηは自然変換なので、f:A->Bとして

F(f).ηA = ηB.H^A(f)

が成り立つ。

H^A(f): hom(A,A)->hom(A,B)
ηB: hom(A,B) -> F(B)

なので、
ηB(f) = ηB(H^A(f)(1_A)) = ηB.H^A(f) (1_A) = F(f).ηA (1_A)

ηはηA(1_A)で完全に決まる

主張2:θがsurjective

任意のa ∈ F(A)に対して
aB*(f) := F(f)(a)とする。

g:B->Cとして

aC*(g.f) := F(g.f)(a)

F(g)(aB*(f)) = F(g)(F(f)(a)) = F(g.f)(a) = aC*(g.f) = aC*(H^A(g)(f))
よって
F(g).aB* = aC*.H^A(g)

よって、a*は自然変換 H^A -> F

ここで、θ(a*) = aA(1_A) = a
より、θはsurjecve

本当か。。

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Z/12Z

Z/pZのイデアルの計算をしてみました。
https://gist.github.com/KatagiriSo/7a611bd9b9e25b4db13e77d4bbf84d9e

これを使ってZ/12Zのイデアルを求めてみると
[0],[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[0,2,4,6,8,10],[0,3,6,9],[0,4,8],[0,6]
つまり
(0), Z/12Z, (2), (3), (4), (6)ということがわかります。

包含関係は
(0) ⊂ (6) ⊂ (3) ⊂ Z/12Z
(0) ⊂ (6) ⊂ (2) ⊂ Z/12Z
(0) ⊂ (4) ⊂ (2) ⊂ Z/12Z

つまり極大イデアルは(2),(3)
イデアルは(0),(2),(3)

楽しい。。

(0)は素イデアルでないとの指摘がありました。
確かに3*4=12=0より、3もしくは4が(0)になっていないといけないのになっていないという判例がみつかる。。
Zとは違うのだなあ。

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環のスペクトル

環のスペクトル - Wikipedia


環の素イデアルの集合を環のスペクトルと呼ぶ。環RとしてSpec(R)と書く。

Spec(R)にはザリスキ位相を入れることができる。

イデアルは部分多様体のような役割になり、一方で極大イデアルが点の役割を果たすようになるらしい。

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昇鎖条件と降鎖条件

昇鎖条件 - Wikipedia

大小関係の列があったとして(詳しく言うと半順序集合)、大なりがどこかで止まる列を昇鎖条件を満たすという。
反対に下がっていくほうがどこかで止まるのが降鎖条件。

ネーター環というのはイデアルの包含関係が昇鎖条件を満たしているもので、
アルティン環は逆に降鎖条件の方を満たすものをいうらしい。



ネーター環 - Wikipedia
アルティン環 - Wikipedia