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超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

Z/12Z

剰余環

Z/pZのイデアルの計算をしてみました。
https://gist.github.com/KatagiriSo/7a611bd9b9e25b4db13e77d4bbf84d9e

これを使ってZ/12Zのイデアルを求めてみると
[0],[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[0,2,4,6,8,10],[0,3,6,9],[0,4,8],[0,6]
つまり
(0), Z/12Z, (2), (3), (4), (6)ということがわかります。

包含関係は
(0) ⊂ (6) ⊂ (3) ⊂ Z/12Z
(0) ⊂ (6) ⊂ (2) ⊂ Z/12Z
(0) ⊂ (4) ⊂ (2) ⊂ Z/12Z

つまり極大イデアルは(2),(3)
イデアルは(0),(2),(3)

楽しい。。

(0)は素イデアルでないとの指摘がありました。
確かに3*4=12=0より、3もしくは4が(0)になっていないといけないのになっていないという判例がみつかる。。
Zとは違うのだなあ。

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環のスペクトル

環のスペクトル - Wikipedia


環の素イデアルの集合を環のスペクトルと呼ぶ。環RとしてSpec(R)と書く。

Spec(R)にはザリスキ位相を入れることができる。

イデアルは部分多様体のような役割になり、一方で極大イデアルが点の役割を果たすようになるらしい。

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昇鎖条件と降鎖条件

昇鎖条件 - Wikipedia

大小関係の列があったとして(詳しく言うと半順序集合)、大なりがどこかで止まる列を昇鎖条件を満たすという。
反対に下がっていくほうがどこかで止まるのが降鎖条件。

ネーター環というのはイデアルの包含関係が昇鎖条件を満たしているもので、
アルティン環は逆に降鎖条件の方を満たすものをいうらしい。



ネーター環 - Wikipedia
アルティン環 - Wikipedia

単純環

単純環 - Wikipedia

自明なイデアル(つまり0と環自身)しかイデアルがないような環のこと。

ようするに面白いイデアルのないシンプルな構造の環になっている。

もう少し何が言えるのかは今後。

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真のイデアル

イデアル (環論) - Wikipedia
イデアル [物理のかぎしっぽ]



イデアルというと環自身がそのままでイデアルの一つであるが、そういうイデアルでないイデアルを真のイデアルと呼ぶことがある。

さらにいうと、0と環そのものという二つを自明なイデアルと呼んで、そういうイデアルでないイデアルを純イデアルと呼ぶことがある。


極大イデアルはどんな真のイデアルにも含まれないものといえる。

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ゼロ因子

零因子 - Wikipedia

ゼロ因子とは、0自身の他に0でもないのに掛けたら0になってしまう詐欺のような元のことである。そういう詐欺をしない正しい元を正則な元と呼ぶ。

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剰余環  環はイデアルで割れる

剰余環 - Wikipedia

商環ともいう。環はイデアル分を足しても同値とみなす同値類によって類別されて、
つまり、
a〜bをb-a∈Iとして、[a] = a + I というような元をつくる。[a] + [b] = [a + b] みたいな自然な感じに演算が定義できて環になっている。

いわば、環の中のイデアルをI=0につぶしたものともいえる。

ちなみに
割るイデアルが極大イデアルだと体になる(剰余体という)。
割るイデアルが素イデアルだと整域になる。つまり剰余環にゼロ因子がない。