超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

単項イデアル整域

環

単項イデアル整域 - Wikipedia

整域なんだけど、つまりゼロ因子を持たない環なんだけど、それに加えてその環のイデアルがどれも単項イデアルになるような環。主環、主イデアル整域、principal ideal domain、PIDとも呼ばれる。

単項イデアル整域つまりPIDであると何が嬉しいかというとネーター環になってくれるし、一意分解環(UFD)にもなってくれるところ。
ネーター環になってくれるというのはある主の有限性をもつということだし、一意分解環はその名の通り一意分解と関係する。そういうのが嬉しい。詳しくはどこかで。

イデアルの生成

環

環Rの部分集合をXとする。
今簡単のためX={x1,x2}とする。
このXによって生成する左イデアルは
{r1x1+r2x2|r1,r2∈R}

同様にXによって生成する右イデアル、両側イデアルも定義できる。

単項イデアル(主イデアル)

Xが一個だけX={x}で生成されるイデアル。

(x)と書いたりする。

イデアル

環

イデアル (環論) - Wikipedia


環Rの部分集合Iがイデアルとは

r∈R
i∈I

ri = i'

となるi'∈Iがある。

ここでは左イデアルで説明した。両側イデアルを単にイデアルと呼ぶ。



環が0と自身以外にイデアルを持たないとき、つまり自明なイデアルしか持たない時、その環を体と呼ぶ。

環が0と自身以外に両側イデアルを持たないとき、その環を単純環と呼ぶ。(左イデアルとかはあってよし)

開集合の基(base)

位相空間

基底 (位相空間論) - Wikipedia


位相空間(X,O)
位相Oの任意の開集合o∈Oが、
その合併で書けるようなXの部分集合族B

つまり、
適当に一個とってくるo∈O
それはいくつかのb1,b2,..∈Bでo=∪ibiと書ける。

Bは位相Oを生成するという。

baseは一意には決まらない。

リー微分

微分幾何

リー微分を調べた。Wikipedia参照

関数のリー微分

関数のリー微分は以下で定義する。
{\cal L}_{X}f(p)\equiv\langle df(p),X\rangle(p)

これを成分で計算すると
=\langle dx^{i}\frac{\partial f(p)}{\partial x^{i}},X^{j}\frac{\partial}{\partial x^{j}}\rangle(p)

外に出して、
=\frac{\partial f(p)}{\partial x^{i}}X^{j}\langle dx^{i},\frac{\partial}{\partial x^{j}}\rangle(p)

あとは内積を計算して
=X^{i}\frac{\partial f(p)}{\partial x^{i}}
=\nabla_{X}f(p)

こうとも書ける。
\mathcal{L}_{X}f(p)=X(f)(p)

ベクトルのリー微分

ベクトルのリー微分は以下で定義する。
{\cal L}_{X}Y\equiv[X,Y]

括弧はリー括弧で
[X,Y](f) \equiv X(Y(f))-Y(X(f))

これを成分で書くと
=X^{i}\frac{\partial Y}{\partial x^{i}}(f)-Y^{i}\frac{\partial X}{\partial x^{i}}(f)

=X^{i}\frac{\partial Y^{j}}{\partial x^{i}}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}-Y^{i}\frac{\partial X^{j}}{\partial x^{i}}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}

まとめると

[X,Y]=\left(X^{i}\frac{\partial Y^{j}}{\partial x^{i}}-Y^{i}\frac{\partial X^{j}}{\partial x^{i}}\right)\frac{\partial}{\partial x^{j}}

微分形式のリー微分


内部積を用いると
\mathcal{L}_{X}\omega=i_{X}d\omega+d(i_{X}\omega)

内部積の定義は次回。。

ブラックホールを調べる

ブラックホール

数式を書くのが大変面倒なことに気づいた。

なんとなくやはりブラックホールから始めないといけない気がしたのでブラックホールを理解していこうと思う。

ブラックホールを理解するためには一般相対論が必要だろう。一般相対論は重力を空間の曲がりとみなすことで議論をする。すると空間の曲がりを記述する数学的な言葉が必要である。そのようなものとしてリーマン幾何学がある。

リーマン幾何学は多様体に計量という場を定義したようなものである。この計量から曲がり具合が計算でき曲率や捩率といったものが計算できる。

これから記述するのは昔読んだ教科書などからの荒い再構成(再勉強)にしたいと思う。

とりあえず以下の本など…

はじめに

このブログはかつて超弦理論を研究してみたり量子論をいじったりしていた一辺境の民(アマチュアとも言う)が、学会から遠いところで好き勝手に色々書いたり学んだりしてみる日記帳です。なのでプロの方は優しくページを閉じていただければ幸いです。

何度か似たようなブログを立ち上げた気がしますが、気のせいです。