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超幻日記

素粒子、量子論、宇宙論のことを辺境にいる一人の視点から改めて眺めてみます。単なる勉強帳になるかも。。

ジャルジンスキ等式

非平衡統計力学

ジャルジンスキ等式の原論文「A nonequilibrium equality for free energy differences」を
機械翻訳を援用して一部を訳してみる。

[cond-mat/9610209] A nonequilibrium equality for free energy differences

アブストラクト

ある配位から他の配位へパラメトリックに切り替える仕事の有限時間測定のアンサンブルの観点から、システムの2つの配位間の古典的自由エネルギー差についての式が導き出される。
2つのよく知られた平衡系の恒等式が、この結果の限定的なケースとして出てくる。

本文

熱浴と接触している有限の古典系を考える。 熱力学の中心的概念は、システムのいくつかの外部パラメータが時間とともに変化するようなシステムで行われる仕事の概念である。
(これらのパラメータは、例えば、外場の強度、またはシステムが閉じ込められている空間の体積、またはより抽象的に分子力学シュミレーションの過程でオンまたはオフにされるある粒子 - 粒子相互作用等)。

パラメータが初期点Aからパラメータ空間内の最終点Bまでのある経路γに沿って無限にゆっくりと変化すると、システム上で実行される全仕事Wは初期配位と最終配位との間のヘルムホルツ自由エネルギー差ΔFに等しい (ランダウ-リフシッツの教科書参照):

W =ΔF≡F_B - F_A

対照的に、パラメータが有限の速度でγに沿って切り換えられる場合、Wはシステムおよび熱浴の微視的初期条件に依存し、その平均はΔFを超えることになる:


{ \displaystyle
\bar{W} \geq ΔF (1)
}


ここと以下で述べる式2において、上についているバーは、Wの測定値のアンサンブル全体の平均値を示し、各測定は、最初にAにおけるパラメータを固定して温度Tでシステムと熱浴を平衡させた後に行われる。 (AからBまでの経路γ、およびこの経路に沿ってパラメータが切り替えられる速度は、ある測定値から次の測定値まで変化しない)。 差\bar{W}-ΔFは、ちょうど、散逸された仕事W_dissであり、不可逆プロセス中のエントロピーの増加に関連している。


式1は不等式である。 対照的に、この論文で得られた新しい結果は、次のような等式である。

\overline{\exp{-\beta W}} = \exp{-\beta \Delta F}  (2a)

または同等に

\Delta F = - \beta^{-1} \ln \overline{\exp{-\beta W}}  (2b)

ここで、β≡1 / kBTである。

この結果は上記で記述される非平衡(有限時間)測定のアンサンブルから平衡情報(自由エネルギー差ΔF)を抽出することを可能にする。そして、AからBへの経路γと、 パスに沿ってパラメータが切り替わる速度に独立である。

自己エントロピーとはなんだろうか。

エントロピー

自己エントロピーとはなんだろうと漠然と考えていました。

エントロピーというのは自己エントロピーの平均値です。そして確率(P)は自己エントロピー(I)と対数で関係します。I = -log P。これはP = e^-Iとも書けます。
つまり、自己エントロピーは高いと確率が低くなります。

もし、N本中nの当たりくじがあるおみくじがあると、当たる確率はP(当たる)=n/Nなので、自己エントロピーはI = -log(n/N) = log N - log n です。

必ず当たるくじの自己エントロピーは0になり、N本中1本しか当たらないくじの自己エントロピーはlogNになります。

ここで I(n) = -log(n/N)と書くことにすると

I(n) = logN - log n
です。

式変形してやると

n = (1/N) e^-I(n)

という関係式が得られました。これは何を意味しているのでしょうか。

くりこみ理論

くりこみ

「A hint of renormalization」Bertrand Delamotte (arXiv:hep-th/0212049)
の一部を機械翻訳を使いつつ訳してみた。

序文

Hans Betheは、1947年の精密な論文の中で、水素原子の2sと2pレベルの間のラムシフトと呼ばれるエネルギーギャップを最初に計算しました。

これらのレベルは、相対論的訂正を含むDiracの理論においてさえ、縮退していることが判明した。

いくつかの著者は、シフトの起源は、電子とそれ自身の放射線場(およびクーロン場だけでなく)との相互作用であり得ることを示唆していた。

しかし、Betheの言葉を引用すると、「このシフトは既存の理論すべてで無限に出てきており、常に無視されています。」
Betheの計算は、有限で正確な結果をもたらす最初のものでした。最近の摂動的な意味でいうところのくりこみが生まれました。

それ以来、それは(ほぼ)全ての量子場理論(QFT)摂動理論の各順序で現れる無限を取り除くために一般的なアルゴリズムに発展しました。
その間に、これらの相違の物理的起源についても説明されている(くりこみとくりこみ群の歴史と哲学に関する多くの興味深い貢献については参考文献8を参照)。

QFTでは、通常の量子力学のように、物理的プロセスの摂動計算には、各順序で、(仮想)中間状態にわたる総和を計算する。しかし、理論がローレンツ不変であれば、ガリレイ不変の場合に比べて無限の補足状態が存在し、その総和は一般に発散的で無限大を生み出す。

これらの「新しい」状態の起源は、量子力学と特殊相対性理力に深く根ざしています。これらの2つの理論を組み合わせると、粒子の質量mから構築された新しい長さスケールが現れる:コンプトン波長mc。公式の限界= 0とc =∞の両方で消滅し、古典理論とガリレオ理論にそれぞれ対応している。

ハイゼンベルクの不等式のため、プロービング距離の長さスケールよりも小さいものは、mc^2よりも高いエネルギーを必要とし、したがって粒子の生成を意味する。粒子を作成して消滅させるこの可能性は、作成されたばかりの粒子が元の粒子と厳密に同一であるため、元の粒子の位置をコンプトン波の長さよりも良好に定めることを禁止する。

量子力学的には、これらの多粒子状態は、研究中のプロセスに関わるエネルギーがmc^2よりも低い場合でも、摂動理論の仮想状態として合計されるため、役割を果たす。したがって、QFTにおける摂動論の発散は、その記述が多粒子状態の無限を含むので、非常に非自明な短距離構造に直接結びついている。

これらの発散を取り除くことは、素粒子物理学で働く多くの物理学者にとっての悪夢と喜びでした。

 量子力学相対性理論、電気力学などの事前知識が必要だったため、非専門家にはくりこみを理解することは絶望的でした。

 このような状況は、問題の壮大さを醸し出しました。物質の究極の構成要素を研究することと、理解不能であることとは、お互いよくフィットしました。

しかし、不思議なことに(少なくとも一見)、アルゴリズムの面を超えたくりこみの理解における理論的なブレークスルーは、ウィルソンの連続相転移に関する研究から来ました。

これらの遷移で起こる現象は、量子力学的でも相対論的でもありませんでした。そして何よりその協調的行動、つまり遠距離での性質のために非自明でした。

 したがって、くりこみにはhとcのいずれも必要ではなかったのでした。
他の何かが働いていたのでした。それは量子力学も相対論も仮想状態の足し上げも、コンプトン波長他も要求とはしないものでした。これらは単に素粒子物理学の文脈では、くりこみを必要とさせたものではあったというだけでした。

実際、QFTの主要な問題であると思われる発散も、今日では量子場理論を解釈した方法の副産物としか考えられていません。

我々は、今日では、協調現象が起こるような(より正確にはコヒーレントにゆらぎが増していくような)エネルギー(ないし長さ)のスケールにおける領域の理論群の中の存在としてこの見えざる手が存在していることを知っている。この見えざる手がある理論においては発散を作り出す。


場合によっては、私たちが頼りにしている物理的なイメージを不安定にする可能性があり、これは発散として現れます。

くりこみ、さらにはくりこみ群は、これらのゆらぎを扱う正しい方法です。


この記事の目的の1つは、何が場の理論に特有なことで、何がくりこみの過程に本質なことなのかを解明することです。

したがって、我々は発散を示す物理モデルを得ようとはせず、物理モデルを特定することなく、摂動的くりこみの一般的なメカニズムとくりこみ群を示したい。

以下では、仮定として、自由パラメータを一つだけ含む不特定の理論を考える。そのもとである物理量を表す関数F(x)は摂動的つまりべき級数として計算される。

QFTの一つの例は、電子などの荷電粒子と電磁場との相互作用を説明する量子電気力学(QED)である。高エネルギープロセスでは、電子の質量は無視できるものであり、このエネルギー領域におけるこの理論の唯一のパラメータは電荷であり、したがってg0のアナログである。

Fは故に散乱過程の断面関を表現することができる。例として、重い核子上の電子の散乱のようなものを考えることができる。そこではxは電子のエネルギー運動量4元ベクトルである。

結合定数g0は、システムのハミルトニアンによって定義され、Fは、通常の( Feynmanによる)アプローチを用いて摂動的に計算される。

別の重要な例は、連続的な相転移である。流体の場合、Fは密度 - 密度相関関数を表し、磁気はスピン - スピン相関関数を表すことができる。

 さらに別の例は、ある物理的な状況で発生し、発散を示すことができる微分方程式の解法です(以下を参照)。

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三角行列

線形代数

上3角行列は左下がすべて0な行列。下3角行列は右上がすべて0な行列。

性質
1. 三角行列Aの行列式detAは対角成分の積に等しい。(行列式の定義よりわかる。)
2. 三角行列Aの固有値は対角成分に等しい。(行列式固有値の定義よりわかる。)
3. 上三角行列同士の積は上三角行列、正則な場合逆行列も上三角行列
4. 下(略)

三角化

正則行列Pを使って正方行列AがP^-1 A P で三角行列になる場合、これを三角化と呼ぶ。

Aの固有値(λ1,..λn)としてAは適当なユニタリ行列UによってU^-1 A U で対角成分が固有値になるような三角行列に三角化できる。

手続き1

1. λ1の固有ベクトルをu1とする。

2. 正規直交基底としてu1,u2,..,unを取り、
U1 = (u1,..,un)
を作る。

3. Aを相似変換する。
U1^-1 A U1 = U1^-1 A (u1,...,un) = U1^-1 (λ1u1,Au2,...,Aun) = (λ1e1,U1^-1Au2,...,U1^-1Aun)

ここでe1は(1,0,..,0)の縦行列。

これで第1行はできた。次に第1行と第1列をはずした行列に対して固有値λ2に対して同様のことを行う。ということを繰り返す。




参考
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/SHIBAURA/2011-2/linalg2exe/lecture12.pdf

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可換環の極大イデアル、素イデアル

環論

以下は可換環のこと

定義 極大イデアル

極大イデアルは、非自明なイデアルの包含関係において極大のもの。

定理1 極大イデアルであることはその剰余環が非自明なイデアルをもたないこと

定義 体

非自明なイデアルをもたない環

定理2 極大イデアルの剰余環が体

設定

  1. 可換環R
  2. RのイデアルI(ただしI≠R)

主張

Iが極大イデアル ⇔ R/Iが体

証明

定理1より、
Iが極大イデアル ⇔ R/Iが非自明なイデアルをもたない。⇔ R/Iが体

定義 素イデアル

a,b∈Rでab∈Iのとき、a∈Iかb∈Iであること。

同値な定義

Iが可換環Rの素イデアルであるとはR/Iが整域であること

定理3 極大イデアルは素イデアル

証明

定理2よりIが極大イデアル ⇔ R/Iが体 ⇒ R/Iが整域 ⇔ Iが素イデアル
よって極大イデアル⇒素イデアル

層の定義

前層...位相空間X上の前層F

開集合 U ⊂ X に対し アーベル群 F(U)
開埋め込み V ⊂ U に対して アーベル群の準同型 ρUV:F(U)->F(V) .. 制限写像
ρUVの制限:
1. ρUU:F(U)->F(U) = 恒等写像
2. 3つの開集合 W⊂V⊂U に対し ρUW = ρVW.ρUV

ρUV(s) は s|V とも書く。

層 F

  1. 前層である
  2. s∈F(U)があるとして、 all i s|Vi = 0 -> s=0
  3. 各si∈F(Ui)に対して(si|Vi∩Vj = sj|Vi∩Vj) -> ∃s∈F(U)(s|Vi = si)

用語:
U上の切断 := F(U)の元
大域切断 := F(X)の元 ... Γ(X,F)と書く。
茎 ... x∈位相空間Xにおける茎Fx := lim_x∈U F(U)

層化 前層から層を構成する手続き

層の押し出し f_* F ... f: X -> Y , 位相空間 X,Y

f_* F(U⊂Y) := F(f^-1(U))

層の引き戻し f^-1 F ...

f^-1 F(V⊂X) := lim_f(V)⊂U F(U)

注: 必ずしも層にならないの層化の必要あり

環の層

F(U)が環

局所環付き空間 (X, O_X) .. O_Xを構造層と呼ぶ。

Xは位相空間
O_Xは環の層

x∈Xにおいて
O_Xの茎 O_X,x が局所環であること。

射 : (X1, O_X1) -> (X2, O_X2)

連続写像 f:X1 -> X2
環の層の射 ψ:OX2 -> f*OX1

x∈Xにおいて
誘導される射: OX2,f(x) -> OX1,x
が極大イデアルを極大イデアルに移すこと。

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米田の補題

圏論

圏Cから(Sets)への関手Fがあるとする。
Cの対象Aを取る。

米田の補題
θ:Nat(H^A, F) -> F(A) がbijection
θ(η) := ηA(1_A)

証明:

主張1: θがinjection

ηは自然変換なので、f:A->Bとして

F(f).ηA = ηB.H^A(f)

が成り立つ。

H^A(f): hom(A,A)->hom(A,B)
ηB: hom(A,B) -> F(B)

なので、
ηB(f) = ηB(H^A(f)(1_A)) = ηB.H^A(f) (1_A) = F(f).ηA (1_A)

ηはηA(1_A)で完全に決まる

主張2:θがsurjective

任意のa ∈ F(A)に対して
aB*(f) := F(f)(a)とする。

g:B->Cとして

aC*(g.f) := F(g.f)(a)

F(g)(aB*(f)) = F(g)(F(f)(a)) = F(g.f)(a) = aC*(g.f) = aC*(H^A(g)(f))
よって
F(g).aB* = aC*.H^A(g)

よって、a*は自然変換 H^A -> F

ここで、θ(a*) = aA(1_A) = a
より、θはsurjecve

本当か。。

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